Lista de exercícios 02: Introdução à Estatística Multivariada

Data de entrega: 17 de novembro de 2025

  1. Se \(z_i = ay_i\), para \(i = 1 \cdots n\), mostre que \({\overline{z}} = a {\overline{y}}\).
  1. Se \(z_i = ay_i\), para \(i = 1 \cdots n\), mostre que \(s^2_z = a^2s^2\).
  1. A tabela abaixo fornece os dados de três variáveis (g/kg) medidas em 10 locais diferentes no Estado de Minas Gerais. As variáveis são:

\[ \begin{aligned} X_1 &= \text{cálcio disponível no solo;} \\ X_2 &= \text{potássio disponível no solo;} \\ X_3 &= \text{fósforo disponível no solo.} \end{aligned} \]

Locais \(X_1\) \(X_2\) \(X_3\)
1 35 12 2.4
2 35 13 2.1
3 40 14 1.9
4 25 11 1.8
5 26 15 2.3
6 32 11 2.5
7 21 10 3.0
8 30 5 1.0
9 33 15 1.1
10 27 16 2.6
  1. Encontre o vetor de médias amostrais \(\mathbf{\overline{x}}\).
  2. Calcule a matriz de covariâncias amostrais \(\boldsymbol{S}\).
  3. Obtenha a matriz de correlações amostrais \(\boldsymbol{R}\).
  1. Usando os dados apresentados na Tabela acima, calcule:
  1. A variância generalizada amostral.
  2. A variância total amostral.
  1. Usando os dados apresentados na Tabela do exercício 3, defina \(Z = 3X_1 - X_2 + 2X_3\) e calcule \(\overline{z}\) e \(s^2_Z\)
  1. Usando os dados apresentados na Tabela do exercício 3, defina \(W = -2X_1 + 3X_2 + X_3\) e calcule:
  1. \(\overline{w}\) e \(s^2_W\).
  2. \(\overline{\mathbf{y}}\) e \(\boldsymbol{S}_y\) se \(\boldsymbol{y} = \left[\begin{array}{cc} Z & W \end{array} \right]\).
  3. Encontre a matriz \(\boldsymbol{R}_{y}\).
  1. Ainda utilizando os dados da Tabela do exercício 3, defina as seguintes combinações lineares das variáveis:

\[ \begin{aligned} Z_1 &= X_1 + X_2 + X_3 \\ Z_2 &= 2X_1 - 3X_2 + 2X_3 \\ Z_3 &= -X_1 - 2X_2 - 3X_3 \end{aligned} \]

  1. Encontre \(\overline{\mathbf{z}}\) e \(\boldsymbol{S_z}\).
  2. Através de \(\boldsymbol{S_z}\), encontre \(\boldsymbol{R_z}\).
  1. Considere as amostras com 8 observações e 3 variáveis apresentadas a seguir:
1 2 3 4 5 6 7 8
\(X_1\) 3 5 6 4 8 9 6 7
\(X_2\) 6 11 11 9 15 16 10 12
\(X_3\) 14 9 9 13 2 2 9 5
  1. Calcule \(\overline{\mathbf{x}}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{R}\).
  2. Calcule as distâncias euclidiana, euclidiana padronizada e Mahalanobis de um ponto \(P = (X_1, X_2, X_3) = (5, 12, 8)\) em relação ao a \(\overline{\mathbf{x}}\).
  1. Sejam dois vetores aleatórios \({\mathbf{x}} = [2 \hspace{0.2cm} 3]^t\) e \({\mathbf{y}} = [2 \hspace{0.2cm} 1]^t\) e considere a matriz de covariâncias amostral igual a \(\boldsymbol{S} = \left[ \begin{array}{ll} 10 & 6 \\6 & 8 \end{array} \right]\). Determine:
  1. A distância euclidiana entre os dois vetores.
  2. A distância generalizada de Karl Pearson.
  3. A distância generalizada de Mahalanobis.
  1. Obtenha as variâncias generalizada e total da matriz de covariâncias amostral apresentada a seguir. Determine a matriz de correlações e as variâncias generalizada e total correspondentes.

\[\boldsymbol{S} = \left[ \begin{array}{ll} 32 & 12 \\ 12 & 10 \end{array} \right]\]